谱方法和高精度算法
课程大纲
上课时间: 周三5-7节，中关村园区教学楼N108教室
学时: 60, 学分: 3
教材和参考书
1. Jie Shen and Tao Tang, Spectral and High-Order Methods
with Applications, Science Press, Beijing, 2006
2. Jie Shen, Tao Tang and Li-Lian Wang, Spectral Methods:
Algorithms, Analysis and Applications, Springer-Verlag
Berlin Heidelberg 2011
online material
3. LIoyd N. Trefethen, Spectral Methods in Matlab, Tsinghua
University Press, 2011
online material
4. George EM Karniadakis and Spencer Sherwin, Spectral/hp
Element Methods for Computationsl Fluid Dynamics, Second
Edition, Oxford Science Publications, 2005
其它资料
- Burgers方程参考程序下载
- 期末大报告参考选题projects
第二十周, 7月10日: 期末大报告汇报
第十九周, 7月3日: 期末考试, 时间: 1:30pm-4:00pm 地点:N108, 开卷
第十八周, 6月26日: 谱方法应用选讲2
第十七周, 6月19日: 谱方法应用选讲1
第十六周, 6月12日: 端午节放假
第十五周, 6月5日: 期末大报告介绍
- 2维特定区域的Navier-Stokes方程组求解
- 1维1个或2个电子的薛定谔方程特征值求解，3维1个电子和2个电
子的薛定谔方程算法思考
- 液晶聚合物和软链聚合物动力学Fokker-Planck方程求解
第十四周, 5月29日: 谱元方法简介
- 一维椭圆问题的谱方法
- 二维谱方法：四边形区域，三角形区域
- 作业：对于Jacobi行列式不是常数的情况，设计一个算法计算给
定函数的导数（在物理空间或谱空间）；并利用基函数是变量分
离形式和插值结点是张量积形式构造刚度矩阵对应的矩阵向量乘
的快速算法。作业端午节后交。
- 讲义下载： 谱元介绍讲义
第十三周, 5月22日: 多维区域谱方法
- 矩形和立方体区域
- 圆盘和圆柱区域
- 球面和球壳
- 讲义下载(对应参考书2第8章): 讲义
第十二周, 5月15日: 无界区域上的谱方法(续)
- Laguerre和Hermite逼近性质
- Laguerre/Hermite谱方法
- 基于映射的谱方法
讲义下载(对应参考书2第7章): 讲义, 作业: 参考书2第七章习题1,2.
第十一周, 5月8日: 无界区域上的谱方法
- Laguerre 多项式和Laguerre函数
- Hermite 多项式和Hermite函数
第十周, 5月1日: 劳动节放假
第九周, 4月24日: 高阶微分方程
- 推广的Jacobi多项式
- 偶数阶方程的Legendre-Galerkin方法
- 奇数阶方程的Legendre dual-Petrov-Galerkin方法
- 配点法
- 误差估计
- 应用: Cahn-Hilliard方程, KdV方程
讲义幻灯下载(对应参考书2第6章): 幻灯片
第八周, 4月17日： Volterra积分方程
- Volterra积分方程的Legendre collocation, Jacobi-Galerkin方法
- 带弱奇性Volterra积分方程的Jacobi方法
- 应用到延迟微分方程
讲义：参考书2的第5章
第七周，4月10日:两点二阶边值问题的谱方法续：误差估计
- 多项式空间投影误差和插值误差（讲义见第五周多项式部分讲义最后一节）
- 二阶边值问题的Galerkin近似误差分析，G-NI误差分析，
Collocation误差分析（讲义见第六周讲义最后误差估计部分）
- 说明
- 本章证明用到的First Strang Lemma已经更新到第一周的讲
义中，同Lax-Milgram定理和Cea Lemma放在一起。
- 作业： 教材2习题4.4数值求解Burgers方程的（i)-(iii)。 题目描述见pdf文件.
第六周, 4月3日: 两点二阶边值问题的谱方法
基于参考书2中的第4章. 主要内容为
- Galerkin 谱方法(Legendre, Chebyshev, Chebyshev-Legendre)
- 使用数值积分的Galerkin谱方法
- Collocation谱方法极其同G-NI方法的关系
- 预条件
讲义下载： Chapter 4 of book 2
作业: 针对Chebyshev-Galerkin方法用在 _带Dirichlet和Neumann边值
条件的方程: -u''+ \alpha u = f上_形成的线性方程租，设计一个具
有 线性计算复杂度 的快速算法。
第五周, 3月27日: 正交多项式(2): Jacobi, Legendre, Chebyshev多项式
材料下载:
第四周, 3月20日: 正交多项式(1)
本周和下周主要介绍正交多项式知识和逼近理论. 这部分内容主要基
于参考书2中的第三章. 原书资料下载:
作业(同下周作业一起交):
- 计算 f(x) = x, |x| 在(-pi, pi) 区间上的Fourier展开系数, 并说明其衰减速率.
- 证明使用N+1积分点的积分公式不能达到2N+2阶精度.
第三周, 3月13日: Fourier谱方法(2): 应用
这一节主要讲Fourier谱方法的直接应用。包括
- 应用到常系数的椭圆方程(内容已更新在上一周的讲义中)
- 在一些非线性方程上的应用：KdV方程，KS方程，Allen-Cahn方程
第二周, 3月6日: Fourier谱方法(1)
这一讲主要基于ShenTangWang书中的第2章。主要内容可分为(讲义下载, 程序：p21.m, p21f.m(使用inline函数实现)):
- Fourier变换
- Fourier误差逼近分析
- Fouerier谱方法和应用
第一周, 2月27日: 谱方法简介
主要内容如下(讲义下载):
- 以热传导方程比较差分方法、有限元方法和谱方法
- 加权余量法(WRM)框架下的Galerkin方法, Petrov-Galerkin法， Collocation法
- 误差估计基础
作业一参考答案: