大学数学重在介绍思想
引言
2000年4月28日至5月2日， 应邀参加了在南京东南大学举行的“新世纪数学学科发展与教学改革会议”。会上，各高校的专家学者对数学发展和我国 大学数学的教学改革发表了很好的意见。我在会上就大学数学教育简短地谈了粗浅的认识。会议期间，《高等数学研究》 约我为该刊将我的发言整理成文。由于我不在高校工作，对教学认识不深入。在会上信口胡说，与高校同行交流看法还勉强 可以，但整理成文，觉得没有价值。所以，当时我谢绝了。后来，几次遇到该刊主编张肇炽先生，他都诚恳地要我再次 考虑约稿之事。盛情难却，只好回忆当时的发言，整理如下。在大学教数学，我们应该教学生什么？不容置疑，要介绍数学的重要的结果，漂亮的方法，巧妙的技巧，和广泛的应用。 但我认为，最重要的是介绍数学的思想。数学最富有吸引力，最迷人，最具有威力，也是最本质的就是她的思想。 能否把数学思想很好地介绍给学生，依赖于许多方面，如课程设计，教材编写，教学形式，等等。关于这些方面， 许多老师已发表了很好的具体意见，我不再画蛇添足。因而，我就简单谈谈另外一点：数学思想是不可能像填鸭那样 灌输给学生的。能否较好的把数学思想介绍给学生，要求是双向的。既要求老师善于讲，也要求学生有兴趣，肯思考。 所以，我觉得很关紧要的是要培养学生的兴趣，使他们学会思考。
一. 思考 从笛卡尔（Descartes）的名言“我思，故我在”可知，思考的重要性是不容置疑的。孔子说过：“学而不思则罔， 思而不学则殆”。如果不思考，就不是真正意义上的学习。科学的学习方法必定不能缺少思考。学习科学知识不用科学的 学习方法岂不可笑吗？著名科学家牛顿在被问到是什么使得他发现了万有引力定律时，其回答非常简单：“By thinking on it continually”。这看似简单的回答却给出了一个真理：几乎所有的伟大发现 都归功于不断的思考。所以，在大学里一定要使学生有相当的时间在思考，要培养学生善于思考。
首先，在课程安排上要留出给学生思考的时间。不能课程太多，课时太多，作业太多。早几年社会上在呼吁给中小学生减负， 我觉得现在是该给大学生减负的时候了。大学生整天都在上课，上习题课，做题，背英语单词， … … 。根本就没有时间思考。不思考，人就和机器没太多的差别。学生的脑袋不能像个布袋，把知识像货物一样往里装。 学习不是为了学习而学习。学习的目的是为了提高自己的创新能力，只有创新才是推动社会进步的动力。 而创新需要想象力。爱因斯坦说过：“Imagination is more important than knowledge”。 但人不思考脑袋就会生锈，又哪来想象力呢？所以，大学里一定要从学生从繁忙的课时中解脱出来，多有时间思考。 我相信，人就像爱做梦一样，是天生就爱思考。而年青学生们的想象力更为丰富。要让他们这一特长得以发挥。 我们一定让学生敢于提问题，善于提问题，勤于提问题。
二. 兴趣 兴趣是学习最有效的动力。我们常常教育学生要明确学习目的，端正学习态度，刻苦努力，等等。这些虽然必要， 但是，过分的把学习强调是任务，是使命，而忽视学习乐趣的做法是不可取的。单纯地把学习当成任务会给学生带 来太大的压力。有了兴趣，学习就如燃烧，可谓“星星之火，可以燎原”。正像燃烧产生的热加快燃烧过程本身一样， 只要有兴趣，学到的知识能扩大我们对学习的兴趣，诱使我们主动地去学习新的东西。兴趣不仅对学习重要， 对事业上的努力同样是重要的。数学家韦尔斯（Andrew Wiles）十年磨一剑攻克费尔马大定理，就是从小就迷上了 这个世界难题。培养学生的兴趣，老师非常关键。物理学家弗里希（O. R. Frisch）“科学家必定有孩童般的好奇心。 要成为一个成功的科学家，必须保持这种孩提时的天性”。 在大学期间培养学生对数学的兴趣的有利的条件有三：一是数学本身的确有趣； 二是年青人容易来兴趣；三是学生们暂时还没太多其它的兴趣。什么最能引发学生对数学的兴趣？是数学的美，学科的重要， 还是教材的生动？无疑这些都是重要的因素，但我认为，最最重要的还是老师。一堂课，一个定理，乃至一句话都 可能使得学生对数学终身的爱。例如，数学家哈代（G. H. Hardy）说到：“My eyes were first opened by Prof Love, who first taught me a few terms and gave me my first serious conception of analysis”.
使学生对数学感兴趣有时要因人而异。好的教育要求老师必须了解学生。除了上大课外，老师应该有机会小范围的和 学生交流和讨论。对特殊的学生一定要有特殊的方法。数论专家塞尔伯格（A. Selberg）说过“由于老师对那些少见 的不平常的学生缺乏理解，而没有对他们实行特殊对待， 最终，使天才无从发挥自己的能力”。
思考和兴趣是学习的两个非常重要的因素。他们本身很有趣，也是很值得我们考虑的。 我希望有更多的人对这它们感兴趣，对它们进行思考。 今天，我们讨论的是数学教学的改革。但数学教育，培养数学专业的学生决不限于教教他们数学。在大学应该培养学生什么？ 知识？能力？做人？我们的大学，表面上什么都在教。政治，体育，外语， 什么课都要上。要求学生德，智，体全面发展，但培养出来的学生大多还是善于考试，好象没学到什么东西。 这使我想起在英国剑桥大学的一句名言“In Cambridge, we teach you everything from nothing”。 举计算数学的学生为例，剑桥的学生比我们的课时少的多，但学生各方面综合能力比我们强。我们在人的培养， 哪怕是数学的教学上，千万不要变成“we teach nothing from everything”，即：什么都教但没把什么真正教给学生。 如果真是这样，我们的教育的确太可悲了。