侃侃样条、小波与细分
临近毕业前，曾在此版由感而写文 侃侃计算数学。时光飞逝，转眼已有一年半有余，我的研究领域也发生了较大的变化。每每翻看杂志，看到以前熟悉领域的论文、看到一个个熟悉的作者，便产生莫名奇妙的亲切感。亲切归亲切，却也没有再返回的想法。一人独坐进餐时，却突然想起研究这个领域多年的感受与认识。不妨写下，更多的是希望写三者之间的关联，而不是单纯详细介绍其中一个，一来是为了纪念一个陪伴我多年的领域，二来希望能给后来者一些借鉴。也希望能和同行交流、切磋。
先侃样条（spline）。大凡对数学的美感兴趣的人，也许对样条的兴趣不是很大。因为它给人的感觉过于人为化。然而，对其接触多之后，我感觉事情并不是这样的，spline函数有着很美的一面。
也许人们会想起泛函分析里面对样条函数的一个解释：一个变分方程的极小解。这也许就是样条函数名称的由来。这个解释固然重要，但却不够美。因为这个解是近似下得到的。“近似”两个字将美的感觉破坏无疑。
我们看另外一个解释。试想，给你一个立方体，你能从里边看出什么来？我们初中的时候就知道，立方体6个面、8个顶点，12条边。其它呢？似乎没有。但事情并不是这样的，我们可以从里面看出一个2次B样条函数。为说明这个事情，我们不妨简化，看能否从一个正方形中看出一个1次B样条函数。我们想象，直线沿着与正方形的一条对角线平行的方向运动，那么，它落在正方形内的线段长度如何变化呢？很容易看到，先为0，后线性增加，当与对角线重合时最大，随后下降，逐渐变为0。这个线段长度的变化函数就是一个1次B样条函数。如果我们将正方形换为正立方体，将直线换为平面，那么我们就得到2次B样条函数。如此，就能得到任意次B样条函数。单位立方体蕴含B样条函数！这是一个非常奇特的事情，可惜，能了解并可欣赏这件事情的人并不是很多。一般的书里面，对这件事情是绝口不提的。但我却认为，这是样条函数最美的解释。上世纪四十年代，Schoenberg
提出样条函数非常重要的四种观点，却唯独没有单位立方体投影的观点。而这种观点也没有很好的发展，很多时候只是当作一个向入门的人演示的东西。这是很遗憾的。
做博士论文时，在纯粹数学美的召唤下，曾经用B样条函数对组合、数论中的线性丢番图方程组做了一些研究。后来，发现与人交流时，对方总是不解地问：样条函数与组合怎么会有关系？于是，我想到了一个解释：样条函数可以看作凸多面体的投影，而凸多面体可以看作线性方程组的解空间，因此，这种关联是自然的。听者似乎马上明白。我对这个解释也自鸣得意了一阵。而后来逐渐发现，这个解释，对于样条与组合关联而言，也许真的是本质的。
如今，样条函数在CAGD、小波及其它领域中均有了很好的应用。我想，一个非常重要的原因就是因为它有了一个很好的基底:B样条基底。
样条函数始于40年代，到70年代与80年代初期，其研究达到高潮。而随之取代的可能是小波(wavelet)。一般工科研究人员，他可能没听说过上同调、切从甚至同胚。但大多数却听说过小波，并试图接近它。小波在短短十几年时间发展到如此地步，确实令人吃惊。而从事相关研究的人员，却往往为数学领域里面被引用次数最高的人员。单纯从数学角度而言，小波对数学最重要的一个贡献也许就是给出了L_2空间局部正交基底。但真正把小波炒热的却是工程人员，人们疯狂的试图将其用到各自的领域。
小波与样条有着天然的血缘关系，这种天然的纽带是在何处建立的呢？我觉得，恰好是双尺度方程。小波基底的建立，需要一个满足双尺度方程的函数。而B样条函数恰好满足这种双尺度方程。于是，二者的联姻便在情理之中。如今，关于样条与小波的论文浩如烟海。我想，把握住了这根线，想掌握这个方向就容易多了。当然满足双尺度方程的函数并不是B样条函数一个，我们可以构造出很多。不幸的是，除了B样条函数，其它的似乎均不能写出解析表达形式，虽然它们有各种各样的级数定义方式。如今，小波的研究给人感觉到了强弩之末，但余劲似乎仍然悠长..........
细分(subdivision)作为CAGD中独立的领域，时间并不是很久。其最初引起人的注意，应该是在小波中。我们说过，一般满足双尺度方程的函数是写不出解析表达形式的，细分便成了建构这些函数的有力工具，如著名的Daubechies 正交小波基底也可以说是通过细分方式得到的。在几何造型中，细分也是一种很重要的方法。但其细分格式的建立往往依赖于Box样条函数(B样条函数的高维推广),因为Box样条满足双尺度方程，而双尺度方程的可以提供很好的细分格式。有趣的是，反过来说，我们计算B样条的算法却往往来源于细分。因此，spline, wavelet 和 subdivision演出了相互关联，不能割舍，又互相制约的三国演义！
如今，小波研究的一个热点是试图构造任意三角剖分下小波基底，而我们不能成功的原因，可以说是缺少任意三角剖分下subdivision 好的格式。如果我们能发现这种格式，也就能构造出任意三角剖分下B样条基底。反之，如果我们有任意三角剖分下B样条基底，就能构造出任意三角剖分下细分格式，相应的就会有小波基底。所以，三者的研究是相互牵扯的，任意一个方向的进展，都可能导出另外两个方向的进展。
更进一步，球面及任意流行上基底的构造亦是如此!
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