研究工作概要









广义Bendixson定理是估计复方阵对的特征值实部和虚部大小的强有力的工具之一。
我们进一步完善并发展了Bai和Ng 在2003年所得到的理论结果。
通过放宽对特征值的上下界地估计中的限制条件，
我们还给出了一些描述更为直观、应用更为方便的简化估计。



为了计算实对称矩阵的端部特征对（即特征值和相应的特征向量），基于经典而有效的幂法，
我们构造出了变步长Richardson外推迭代方法和梯度下降方法，
并进而建立了具有一般性的参数化幂法的统一框架，且给出了相应的收敛性理论。
理论分析和数值实验均表明，只要选择合适的迭代参数，参数化幂法可以比幂法更为有效。



对于一类在时间和空间分数阶扩散方程约束下的最优控制问题，
利用时间有限差分和空间有限元的混合离散以及拉格朗日乘子法，
我们得到了具有特殊结构的分块二阶线性方程组。
我们证明了这类离散线性方程组的系数矩阵的正定性，构造出了相应的旋转块对角预处理矩阵，
并分析了预处理之后的矩阵的谱的性质。理论分析和数值实验均表明，
该旋转块对角预处理子可以明显地改善Krylov子空间迭代方法的收敛性质和数值行为，
使得这类迭代方法具有最优阶的计算性质，
亦即其收敛速度与离散步长及问题参数均无关系、且其计算工作量线性正比于离散未知量的个数。



Gauss-Seidel方法和Kaczmarz方法是求解线性方程组的两种经典迭代方法，
它们的迭代操作只分别作用于系数矩阵的列空间和行空间之中。利用这两种方法之间的内在联系，
并借鉴随机Kaczmarz方法的均方误差分析，
我们对于由随机Gauss-Seidel方法所生成的均方残量误差给出了一个精确的表达式。
基于该表达式，我们进一步估计出了随机Gauss-Seidel方法的收敛速度的上界。
理论分析和数值实验均表明，该上界较之已有上界更为紧致。
此外，我们对于一般的外推随机Gauss-Seidel方法也得到了相似的理论结果。










2021年正式出版专著如下:





2021年正式发表的论文如下: