研究工作概要









对于相容亚定线性代数方程组，我们给出了随机Kaczmarz (Randomized Kaczmarz or RK) 
方法的迭代平均平方误差的精确表达式，从而进一步完备了已有的关于超定线性代数方程组的相应结果。
在此基础上，我们导出了关于随机Kaczmarz方法收敛速率的更为精确的上界。
对于相容的亚定或超定线性代数方程组，为选取每步迭代所需调用的系数矩阵的目标行，
我们首次提出了一个全新而有效的概率准则，并由此构造出了贪婪随机Kaczmarz 
(Greedy Randomized Kaczmarz or GRK) 方法。我们证明了GRK方法
可以收敛到相应线性代数方程组的唯一极小范数解。理论分析表明，
GRK方法的收敛速率比RK方法更快，且在数值实验中也显示出了较之RK方法更高的计算效率。
通过进一步在GRK方法的概率准则中引进一个松弛参数，我们得到了一簇
松弛贪婪随机Kaczmarz (Relaxed GRK or RGRK) 方法，
并证明了这簇方法的收敛性。数值计算表明，如果可以选取到一个合适的松弛参数，
RGRK方法可以比GRK方法更为有效。



大规模非埃尔米特线性代数方程组广泛地产生于科学计算与工程应用等诸多领域，
具有重要的理论意义和很高的应用价值。譬如：时变分数阶对流扩散方程经过适当的差分离散，
所得到的线性代数方程组的系数矩阵即是大规模、稠密、反埃尔米特部分占优、且往往又是不定的。
针对这类线性代数方程组，通过引入新的拟正规方程，并运用埃尔米特/反埃尔米特分裂 
(Hermitian and Skew-Hermitian Splitting or HSS) 迭代技巧，
我们建立了一类拟HSS (Quasi-normal HSS or QHSS) 迭代方法并证明了其收敛性。
同时，我们还给出了QHSS迭代方法的不精确变形(Inexact QHSS or IQHSS)，
深入讨论了IQHSS迭代方法的收敛特性，并将其与QHSS迭代方法进行了详细比较。
数值实验表明，QHSS和IQHSS方法既可作为线性代数方程组的有效而鲁棒的线性解法器，
也可作为Krylov子空间迭代方法的高质而经济的矩阵分裂预处理子。
特别对于埃尔米特部分近乎奇异、或者反埃尔米特部分强占优的线性代数方程组，
无论是作为解法器还是作为预处理子，QHSS和IQHSS方法都比已有的HSS或IHSS方法更为有效。



一维各向异性的变系数空间分数阶扩散方程经过适当的差分离散，
可以得到一类单调线性代数方程组。这类方程组的系数矩阵是对角矩阵
与Toeplitz矩阵的乘积之和，是大规模稠密的，且还是高度病态的。
针对这类线性代数方程组，籍助于预处理HSS迭代思想，
我们提出了一类各自尺度化HSS (Respectively Scaled HSS or RSHSS) 
迭代方法，并建立了其收敛性理论。相应地，这类矩阵分裂迭代自然可诱导出
RSHSS预处理子；由其再利用Toeplitz矩阵的循环近似，我们即可得到一类
快速RSHSS (Fast RSHSS or FRHSS) 预处理子。理论分析和数值计算均表明，
在用于求解离散的变系数空间分数阶扩散线性方程组时，FRSHSS预处理子
可以明显地提高Krylov子空间迭代方法的计算效率。




2018年正式发表的论文如下: