研究工作概要









依赖于时间的一维空间分数阶扩散方程,在恰当的初值或边值条件下，
如果采用Grunwald-Letnikov公式对其进行差分离散，就可得到一类具有具体子结构
和特殊性质的线性代数方程组：其系数矩阵具有行对角占优性，
且可表示为对角矩阵和Toeplitz矩阵之和。 对于这类分数阶扩散差分线性方程组，
通过充分利用其系数矩阵的具体子结构和特殊性质，
我们提出了由对角矩阵和Toeplitz矩阵交替进行迭代的对角Toeplitz分裂(DTS)迭代方法，
证明了该迭代方法的无条件收敛性质，并讨论了迭代参数的最优选取问题。基于DTS迭代方法，
以及循环矩阵对于Toeplitz矩阵的天然的良好近似，
我们给出了一类对角循环分裂(DCS)预处理子。理论分析及数值结果表明: 
该DCS预处理子能使预处理后的矩阵的绝大多数特征值聚集在1附近，
从而使得相应的经DCS预处理后的Krylov子空间迭代方法具有快速收敛的性质，
并且DCS-Krylov子空间方法的收敛性不依赖于原分数阶扩散方程的系数函数的间断程度、跳跃大小或奇异性质，
还能容易地被推广应用到由二维或三维分数阶扩散方程经离散所产生的线性代数方程组的迭代求解之中。
此外， 我们还数值分析了迭代参数对于DCS-GMRES方法的收敛速度的影响。



进一步研究了Hermitian特征值问题的Jacobi-Davidson型算法的收敛和数值性质。
当内迭代修正方程用Krylov子空间方法求解时，证明了非精确简化Jacobi-Davidson方法是局部二次收敛的。
特别，当内迭代修正方程的求解精度达到当前近似向量的残量范数的常数倍时，
该方法甚至是局部三次收敛的。由此，作为推论，
即可容易地得到简化Jacobi-Davidson 方法的局部三次收敛性质。
但是，在已有文献中，所能给出的最好结果仅仅是非精确简化Jacobi-Davidson方法的局部线性收敛性，
且当内迭代修正方程求解精度特别设置为零时，也只能导出该方法的局部二次收敛性。
可以看出，我们的新结果明显地改进了已有结果。



此外，对于大规模鞍点线性方程组，我们提出了正则化Hermitian与反Hermitian分裂(RHSS)迭代方法，
建立了这类方法的无条件渐近收敛理论，分析了相应的RHSS预处理矩阵的特征值的聚集性质，
并用实例验证了RHSS迭代方法、RHSS预处理-GMRES方法、以及它们的不精确变形的数值有效性。
对于等式约束二次规划问题，通过逐次引进松弛参数并巧妙采用预处理矩阵，
我们提出了乘子型预处理松弛交替变量最小化(PRAVMM)方法，建立了其渐近收敛性理论，
并在一些图像处理问题的具体应用中取得了很好的计算效果。
我们也研究了关于线性互补问题的基于模松弛迭代方法的多重网格法，
以及模迭代方法在解决图像恢复问题时的算法构造、理论分析及数值实现等。




2017年正式发表的论文如下: