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袁亚湘科学成就简介


    袁亚湘主要研究非线性优化的算法及其理论,在信赖域以及拟牛顿方法等非线性规划主要研究方向上取得了一系列重要结果。

    一、 线性规划的信赖域方法 (1)对于无约束优化的信赖方法,首创性地提出了用信赖域方法和传统的线搜索方法相结合来构造新的计算方法,并依此给出了一个利用信赖域以及back-tracking 技巧的数值计算方法。 (2)对于约束优化的信赖域方法,构造利用Fletcher光滑罚函数作为价值函数的信赖域算法,证明了该算法不可能出现Maratos效应,提出了一个利用 L∞罚函数的约束优化计算方法,证明了在渐近情形下这个方法和SQP方法的等价性。 (3)对于非光滑优化的信赖域方法,得到了一系列重要的收敛性结果。在较弱的假定下证明了非光滑优化的,还对特殊形式的非光滑优化问题(极大极小和L等问题)给出超线性收敛的充分必要条件;指出了一类常用的信赖域方法可能仅仅是线性收敛的;证明了Fletcher的二阶校正步的信赖域方法是超线性收敛的。由于这些结果,他先后于1984年在剑桥大学获J.T.Knight奖和1985 年在伦敦获L.Fox奖。 (4)关于信赖域方法的子问题。在国际上最先对Celis-Dennis Tapia 子问题进行理论分析,得到了信赖域子问题的开创性的基石性结果。给出了问题求解的充分必要条件,证明了子问题的Lagrange函数的Hesse阵只有一个负特征值,指出了子问题在只有一个积极约束时,Lagrange函数的Hesse阵也可能有一个负特征值,这是一个出人意料的结果;给出了一个求解凸的子问题的对偶计算方法。

    二、非线性规划的拟牛顿方法。对于无约束极值问题, (1) 证明了在精确线性搜索下,拟牛顿方法的最小Q-收敛阶为1。 (2) 对于不精确线性搜索,证明了著名的Broyden 凸簇中的所有拟牛顿方法,除DFP方法外,都有全局收敛与超线性收敛性质。这个结果被认为是继 M.J.D.Powell在1976年证明BFGS方法的全局收敛性之后有关拟牛顿方法收敛性研究的重要结果,也被认为是非线性规划算法理论在八十年代重要的结果之一。 (3) 导出了Broyden簇中的算法是自对偶方法的充分必要条件,并利用这一思想导出了两个新的拟牛顿修正公式。

    三、其他 (1) 提出了利用非二次模型的信息来构造二次子问题,并据此提出了“非拟牛顿方法”。 (2) 基于每次迭代求解二维极小子问题,构造了一个新的直接方法,证明了该方法的收敛性。

 

 


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Last modified 30 Aug.2015.